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Fracciones Reducidas – Máquinas Herramientas

Las Fracciones reducidas son un conjunto de fracciones equivalentes y aproximadas por descomposición a una fracción dada.

Las Fracciones Reducidas se utilizan sustituyendo cualquier fracción que sea resultado de un paso.

Veamos un ejemplo:

Construir un paso helicoidal de 1.541,6 en una fresadora que tiene el tornillo de la mesa con un paso de 10 mm. y la reducción del divisor de 1: 40

El set de engranajes de cambio de la fresadora es el siguiente:

20, 20, 24, 24, 28, 30, 35, 40, 44, 48, 50, 56, 60, 65, 70, 72, 76, 80, 84, 86, 90, 100, 110 y 127 dientes.

Solución.

Se aplicará el concepto de Fracciones Reducidas.

El procedimiento es el siguiente:

  1. Establecer la relación del paso así:

TE = Ph / (T(R))

Donde:
TE: es el Tren de Engranajes.
Ph : es el paso de la hélice del engranaje helicoidal.
T: es el paso del tornillo de la mesa de la fresadora.
R: es la reducción del divisor universal.

Aplicando en el ejemplo:

TE = Ph/(T(R))
TE = 1.541,6/(10(40))
TE = 1.541,6/400

  1. Amplificar la fracción TE de tal manera que no haya números decimales ni en el numerador ni en el denominador.
    Entonces en el ejemplo, se debe multiplicar por 10 tanto en el numerador como en el denominador de la fracción así:
    (1.541,6 X 10) / (400 X 10) = 15.416 / 4.000

El valor anterior se puede simplificar sacando la octava parte (dividiendo entre 8 tanto en el numerador como en el denominador)
entonces: (15.416/8) / (4.000/8) = 1.927 / 500

Si se verifica en el set de engranajes de la fresadora, no existen estos engranajes, por tanto se debe seguir con el siguiente paso que es encontrar las fracciones reducidas así:

  1. Para encontrar las fracciones reducidas de 1.541,6/400 se debe como primer paso obtener los COEFICIENTES de la fracción 15.416/4.000 es decir la fracción anterior multiplicada por 10 y esto consiste en hacer divisiones sucesivas entre los residuos de las mismas divisiones para obtener cocientes hasta que una de las divisiones de un residuo cero.

El procedimiento para Fracciones Reducidas es el siguiente:

En la primera división, siempre se dividirá el número mayor del número menor no importando que la fracción sea mayor o menor que uno (1). Así:

  1. 15.416 / 4.000 = 3, residuo: 3.416 ; Coeficiente: 3
  2. Se toma el número menor de la fracción, es decir 4.000 y se divide entre el residuo anterior, o sea entre 3.416
    4.000 / 3.416 = 1, residuo 584; Coeficiente: 1
  3. Se divide el primer residuo entre el segundo, así:
    3.416 / 584 = 5, residuo: 496; Coeficiente: 5
  4. Se divide el segundo residuo entre el tercero, así:
    584 / 496 = 1, residuo : 88; Coeficiente: 1
  5. Se divide el tercer residuo entre el cuarto, así:
    496 / 88 = 5, residuo : 56; Coeficiente: 5
  6. Se divide el cuarto residuo entre el quinto, así:
    88 / 56 = 1, residuo : 32; Coeficiente: 1
  7. Se divide el quinto residuo entre el sexto, así:
    56 / 32 = 1, residuo : 24; Coeficiente: 1
  8. Se divide el sexto residuo entre el séptimo, así:
    32 / 24 = 1, residuo : 8; Coeficiente: 1
  9. Se divide el séptimo residuo entre el octavo, así:
    24 / 8 = 3, residuo : 0; Coeficiente: 3

En este punto se ha llegado a un residuo cero (0), entonces el proceso de encontrar los coeficientes termina.
Se encontraron nueve (9) coeficientes. Los coeficientes en orden son: 3, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 1 y 3.

  1. Como punto siguiente, ahora se formarán las fracciones reducidas:

Ahora se arma un cuadro con los coeficientes encontrados anteriormente y en el mismo orden.

Fracciones Reducidas

Las fracciones se arman usando las siguientes fracciones llamadas anteprecedente y precedente, estas fracciones son las siguientes:

0/1 y 1/0 si la fracción original es mayor que uno (1) y
1/0 y 0/1 si la fracción original es mayor que uno (1).

Estas fracciones convencionales se colocarán al lado izquierdo del cuadro de fracciones reducidas que construiremos a continuación.

Entonces en el ejemplo:
La fracción original es 1.541,6/400, que es mayor que uno (1), por lo que la fracción convencional que la acompaña es:
0/1 y 1/0

Fracciones Reducidas

Primera Reducida:

Numerador: Se multiplica el primer cociente, el número tres (3) por el numerador de la fracción convencional precedente que es el uno (1) y a este resultado se le suma el valor del numerador anteprecedente que es el cero (0)

(3 X 1) + 0 = 3 este el numerador de la primer fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el primer cociente, el número tres (3) por el denominador de la fracción convencional precedente que es el cero (0) y a este resultado se le suma el valor del denominador anteprecedente que es el uno (1)

(3 X 0) + 1 = 1 este el denominador de la primer fracción reducida.

Entonces ya se tiene la primer fracción reducida que es 3/1

Fracciones Reducidas

Segunda Reducida:

Numerador: Se multiplica el segundo cociente, el número uno (1) por el numerador de la primera fracción reducida que es el tres (3) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la fracción convencional anteprecedente que es el uno (1)

(1 X 3) + 1 = 4 este el numerador de la segunda fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el segundo cociente, el número uno (1) por el denominador de la primera fracción reducida que es el uno (1) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la fracción convencional anteprecedente que es el cero (0)

(1 X 1) + 0 = 1 este el denominador de la segunda fracción reducida.

Entonces se tiene la segunda fracción reducida que es 4/1

Fracciones Reducidas

Tercera reducida:

Numerador: Se multiplica el tercer cociente, el número cinco (5) por el numerador de la segunda fracción reducida que es el cuatro (4) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la primera fracción que es el tres (3)

(5 X 4) + 3 = 23 este el numerador de la tercera fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el tercer cociente, el número cinco (5) por el denominador de segunda fracción que es el uno (1) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la primera fracción que es el uno (1)

(5 X 1) + 1 = 6 este el denominador de la tercera fracción reducida.

Entonces se tiene la tercera fración reducida que es 23/6

Fracciones Reducidas

Cuarta reducida:

Numerador: Se multiplica el cuarto cociente, el número uno (1) por el numerador de la tercera fracción reducida que es el veintitrés (23) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la segunda fracción que es el cuatro (4).

(1 X 23) + 4 = 27 este el numerador de la cuarta fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el cuarto cociente, el número uno (1) por el denominador de tercera fracción que es el seis (6) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la segunda fracción que es el uno (1).

(1 X 6) + 1 = 7 este el denominador de la cuarta fracción reducida.

Entonces se tiene la cuarta fración reducida que es 27/7

Fracciones reducidas

Quinta reducida:

Numerador: se multiplica el quinto cociente, el número cinco (5) por el numerador de la cuarta fracción reducida que es el veintisiete (27) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la tercera fracción que es veintitrés (23)

(5 X 27) + 23 = 158 este el numerador de la quinta fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el quinto cociente, el número cinco (5) por el denominador de cuarta fracción que es el siete (7) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la tercera fracción que es el seis (6)

(5 X 7) + 6 = 41 este el denominador de la quinta fracción reducida.

Entonces se tiene la quinta fración reducida que es 158/41

Fracción

Sexta Fracción reducida:

Numerador: Se multiplica el sexto cociente, el número uno (1) por el numerador de la quinta fracción reducida que es el ciento cincuenta y ocho (158) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la cuarta fracción que es veintisiete (27).

(1 X 158) + 27 = 185 este el numerador de la sexta fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el sexto cociente, el número uno (1) por el denominador de quinta fracción que es el cuarenta y uno (41) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la cuarta fracción que es el siete (7)

(1 X 41) + 7 = 48 este el denominador de la sexta fracción reducida.

Entonces se tiene la sexta fracción reducida que es 185/48

fracción r

Séptima reducida:

Numerador: Se multiplica el séptimo cociente, el número uno (1) por el numerador de la sexta fracción reducida que es el ciento ochenta y cinco (185) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la quinta fracción que es ciento cincuenta y ocho (158).

(1 X 185) + 158 = 343 este el numerador de la séptima fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el séptimo cociente, el número uno (1) por el denominador de sexta fracción que es el cuarenta y ocho (48) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la quinta fracción que es el cuarenta y uno (41)

(1 X 48) + 41 = 89 este el denominador de la séptima fracción reducida.

Entonces se tiene la séptima fracción reducida que es 343/89

séptima reducida

Octava reducida:

Numerador: se multiplica el octavo cociente, el número uno (1) por el numerador de la séptima fracción reducida que es el trescientos cuarenta y tres (343) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la sexta fracción que es ciento ochenta y cinco (185).

(1 X 343) + 185 = 528 este el numerador de la octava fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el octavo cociente, el número uno (1) por el denominador de séptima fracción que es el ochenta y nueve (89) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la sexta fracción que es cuarenta y ocho (48).

(1 X 89) + 48 = 137 este el denominador de la octava fracción reducida.

Entonces se tiene la octava fracción reducida que es 528/137

Octava Reducida

Novena reducida:

Numerador: Se multiplica el noveno cociente, el número tres (3) por el numerador de la octava fracción reducida que es el quinientos veintiocho (528) y a este resultado se le suma el valor del numerador de la séptima fracción que es trescientos cuarenta y tres (343)

(3 X 528) + 343 = 1.927 este el numerador de la octava fracción reducida.

Denominador: Se multiplica el noveno cociente, el número tres (3) por el denominador de octava fracción que es ciento treinta y siete (137) y a este resultado se le suma el valor del denominador de la séptima fracción que es ochenta y nueve (89)

(3 X 137) + 89 = 500 este el denominador de la novena fracción reducida.

Entonces se tiene la novena fracción reducida que es 1.927/500

Novena Reducida

Esta última fracción es la original o sea : 1.927/500

Si se ha llegado a esta igualdad, esto significa que el proceso fue bien realizado y no hubo errores en el proceso de encontrar las fracciones reducidas.

Todas las anteriores fracciones son posibles soluciones a la fracción original.

Sin embargo debe utilizarse la que más se aproxime a la fracción ya que es más precisa.

Fracciones Reducidas obtenidas

Una forma de saber cual es la fracción que más se aproxime es tomar todas las fracciones reducidas, empezando por la primera y en su orden y hacer la división así:

Fracción original: 1.541,6/400 = 3,854
Primera reducida: 3/1 = 3
Segunda reducida: 4/1 = 4
Tercera reducida: 23/6 = 3,8333
Cuarta reducida: 27/7 = 3,8571
Quinta Reducida: 158/41 = 3,8536
Sexta Reducida: 185/48 = 3,8541
Séptima Reducida 343/89 = 3,8539
Octava Reducida 528/137 = 3,85401
Novena Reducida 1.927/500 = 3,854 que es la fracción original

A juicio de los anteriores resultados, una opción válida puede ser la quinta reducida 185/48.

Si se trabaja con esta fracción, se puede descomponer así:

185/48 = 37 X 5 / 6 X 8

El valor 37 es un número primo así que según el set de engranajes de la fresadora no hay un engranaje múltiplo de 37 que pueda servir para construir el tren de engranajes.

Ahora se puede probar con la fracción reducida anterior: 158/41 = 79 X 2 /41 X 1 ;

Los valores 79 y 41 son números primos y el conjunto de engranajes de la fresadora tampoco hay engranajes múltiplos de estos valores, así que se continúa con la búsqueda.

Si se toma ahora la fracción anterior 27/7 entonces se puede descomponer así:

9 X 3 / 7 X 1

Si se multiplica 9 X 8 en el numerador y 7 X 8 en el denominador entonces:

72 X 3 / 56 X 1

Si se multiplica 3 X 30 en el numerador y 1 X 30 en el denominador entonces:

72 X 90 / 56 X 30

Valores que si existen en el juego de engranajes de la fresadora.

Con lo que se cumple con el tren de engranajes B X D / A X C

Se utilizó la cuarta fracción reducida cuyo valor decimal es 3,8571
La fracción original tiene como valor decimal : 3,854
La diferencia es: 0,003
Lo que vendría a ser el error o variación en el paso, un valor que es mínimo.

Si se necesitase un montaje del tren de engranajes de 6 componentes entonces:

72 X 90 /56 X 30 = 72 X 9 X 10 / 56 X 6 X 5
si se multiplica 9 por 1/3 en el numerador y 6 por 1/3 en el denominador , entonces:
72 X 3 X 10 / 56 X 2 X 5
si se multiplica 3 por 20 en el numerador y 2 por 20 en el denominador, entonces:
72 X 60 X 10 / 56 X 40 X 5
y finalmente, si se multiplica 10 por 10 en el numerador y 5 por 10 en el denominador, entonces:
72 X 60 X 100 / 56 X 40 X 50

También te puede interesar: Conceptos y Ejemplos De Tren de Engranajes en las máquinas herramientas

Otro Ejemplo de Fracciones Reducidas:

Con este método es posible construir pasos lineales como los que se usan en la fabricación de cremalleras mecánicas.

Veamos cómo se puede descomponer en fracciones reducidas el valor π = 3,1416

  1. Establecer la relación del paso así:

3,14 = 3,14/1

  1. Amplificar la fracción 3,14/1 de tal manera que no haya números decimales ni en el numerador ni en el denominador.
    Entonces en el ejemplo, se debe multiplicar por 100 tanto en el numerador como en el denominador de la fracción así:
    3,14 X 100/ 1 X 100 = 314/100

El valor anterior se puede simplificar sacando la mitad (dividiendo entre 2 tanto en el numerador como en el denominador)
Entonces: 314/2 / 100/2 = 157/50

Ahora se debe aplicar el proceso para encontrar las fracciones reducidas del anterior valor:

En la primera división, siempre se dividirá el número mayor del número menor no importando que la fracción sea mayor o menor que uno (1). Así:

  1. 157 / 50 = 3, residuo: 7; Coeficiente: 3
  2. Se toma el número menor de la fracción, es decir 50 y se divide entre el residuo anterior, o sea 7
    50/7 = 7, residuo 1; Coeficiente: 7
  3. Se divide el primer residuo entre el segundo, así:
    7/1 = 7, residuo: 0; Coeficiente: 7

En este punto se ha llegado a un residuo cero (0), entonces el proceso de encontrar los coeficientes termina.
Los coeficientes en orden son: 3, 7 y 7

Fracciones Reducidas de π

Como punto siguiente, ahora se formarán las fracciones reducidas.

La fracción 157/50 es mayor que uno (1), entonces se tomará la fracción convencional:
0/1 y 1/0

Primera fracción reducida:
(3 X 1) + 0 = 3 y es el numerador de la primera fracción.
(3 X 0) + 1 = 1 y es el denominador de la primera fracción

Segunda fracción reducida:
(7 X 3) + 1 = 22 y es el numerador de la segunda fracción.
(7 X 1) + 0 = 7 y es el denominador de la segunda fracción.

Tercera fracción reducida:
(7 X 22) + 3 = 157 y es el numerador de la tercera fracción.
(7 X 7) + 1 = 50 y es el denominador de la tercera fracción.

Esta última fracción reducida es la fracción original.

Por tanto la fracción reducida de π es 22/7

Amig@s, he llegado al final de este artículo, un poco extenso pero espero que no se me haya escapado nada de información importante acerca de las Fracciones Reducidas.

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